La Fundamentación de la Matemática

LA FUNDAMENTACIÓN
DE LA MATEMÁTICA

“El ordenador fue inventado para ayudar a clarificar la cuestión filosófica de los fundamentos de la matemática” (Gregory Chaitin)

“La parte más esencial de la matemática carece de base” (Niels Henrik Abel)

“La naturaleza no puede ser complicada. Hay que buscar la fuente de la verdad en la simplicidad matemática” (Einstein)

La fundamentación de la matemática a nivel conceptual tiene una rica y larga historia que se remonta desde los antiguos griegos hasta hoy. Hoy día sigue sin conocerse cuales son los conceptos esenciales sobre los que se fundamenta la matemática y cómo se combinan. A nivel histórico. la fundamentación de la matemática se ha basado sucesivamente en 5 conceptos: los números, los conjuntos, las estructuras, las categorías y las funciones.

Los Números

En el siglo VI a.C., Pitágoras y su escuela (los pitagóricos) basaron toda la matemática sobre el concepto de número natural y las operaciones aritméticas con los números naturales. Los números racionales eran un concepto derivado de los números naturales. Según los pitagóricos, los números son los componentes básicos con los que se construye el edificio de la realidad.

En la escuela pitagórica se demostró el conocido hoy día como “teorema de Pitágoras”. Eso generó un interés sobre los números cuadrados y, en general, hacia los números poligonales, los que se podían representar mediante polígonos. Así, por ejemplo, había números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.

El impacto que produjo el descubrimiento de los números irracionales −en particular, la imposibilidad de expresar la diagonal de un cuadrado de lado 1 mediante un número racional− provocó un mayor interés aún por los objetos geométricos y su combinatoria a través de operaciones. Por ejemplo, un número se representaba como un segmento, la suma se realizaba concatenando dos segmentos, el producto de dos números equivalía al área de un rectángulo, etc. Parecía que había más verdad en la geometría que en la aritmética. Pero aritmética y geometría eran las dos caras de una misma moneda. La aritmética representaba lo discreto, lo superficial y racional, y la geometría lo continuo, lo profundo y lo intuitivo (o irracional, desde el punto de vista numérico).

El paradigma de la unión o conexión de la aritmética con la geometría es el teorema de Pitágoras, el teorema más conocido de la matemática. Aunque Pitágoras lo descubrió para dos dimensiones, hoy sabemos que es un teorema general aplicable a espacios de n dimensiones para objetos de entre 1 y n−1 dimensiones. [ver Apéndice – El Teorema de Pitágoras Generalizado.]
En el siglo III a.C., Euclides publica sus famosos “Elementos” de Geometría e introduce el método axiomático. Además de teoremas geométricos, incluye también resultados que se pueden encuadrar en lo que hoy día llamamos “teoría de los números”, y lo hace así fundamentándolos en la geometría, porque no pudo hacerlo de forma aritmética pura.
En la Edad Media se introducen los números negativos para resolver, por ejemplo, la ecuación x+5 = 3. Al principio se consideraron números imaginarios. Su introducción fue extraordinariamente lenta, debido a un cierto rechazo a considerarlos como números, pues los verdaderos números eran solo los naturales. Fue a finales del siglo XVIII cuando los números negativos fueron aceptados universalmente.
En el siglo XVI, Gerolamo Cardano descubrió los números imaginarios al tratar de la imposibilidad de dividir el número 10 en dos partes tales que su producto fuera 40, llegando a las expresiones “imposibles” 5+√(−15) y 5−√(−15) . La unidad imaginaria fue introducida por Rafael Bombelli (también en el mismo siglo XVI), al resolver la ecuación cúbica mediante la raíz cuadrada de −1. En los siglos siguientes (XVII a XIX), se interpreta la unidad imaginaria como otra dimensión del plano (John Wallis, Caspar Wessel, Jean-Robert Argand y Gauss).
En el siglo XVII, Descartes, reduce la geometría al análisis de los números reales, asociando coordenadas a las entidades geométricas y expresando las relaciones entre coordenadas mediante ecuaciones (p. e. una recta es una ecuación de primer grado). Nace así la geometría analítica.
En el mismo siglo XVII, Newton y Leibniz inventan el cálculo infinitesimal, naciendo así el análisis matemático. Está basado en un concepto paradójico: un número infinitesimal es un número mayor que cero pero menor que cualquier número positivo, por pequeño que este sea. Este número, evidentemente, no existe a nivel real, por lo que es necesario apelar a lo imaginario.
En el siglo XIX, Weierstrass aritmetiza el análisis matemático reduciendo los números irracionales a mera aritmética sobre los números naturales. En efecto, un número irracional, al ser imposible definirlo con exactitud, se define mediante un conjunto infinito de números racionales que definen aproximaciones sucesivas. De todas formas, este sistema solo es aplicable a un número muy reducido (prácticamente despreciable) de números irracionales: los que podían describirse de manera finita. El resto de los números irracionales son inexpresables, es decir, son inaccesibles e irrepresentables.
A finales del siglo XIX, Cantor descubre los “números transfinitos”: los números infinitos de orden superior.
En 1888, Dedekind publica “Qué son y para qué sirven los números”, en donde axiomatiza la aritmética de los números naturales.
En 1899, Giuseppe Peano formaliza los números naturales mediante 3 nociones primeras y 5 axiomas.
En el siglo XX, John Conway inventa (o descubre) los números surreales, una clase de números que incluyen a los números reales, al infinito, al infinitesimo y a los transfinitos.

Los Conjuntos

Desde la antigua Grecia, los matemáticos habían estudiado objetos individuales (un número, un triángulo, un cuadrado, etc.). A mediados del siglo XIX, Bernard Bolzano empezó a estudiar agrupaciones de objetos que compartían una propiedad común, como los números mayores que 7, todos los triángulos, etc. Bolzano es considerado el precursor de la teoría de conjuntos (y también de la lógica moderna).
En 1874, George Cantor desarrolló la teoría de conjuntos, a nivel conceptual, como fundamento de todo el edificio matemático, en especial para resolver problemas matemáticos que combinan geometría y aritmética. Uno de estos problemas era averiguar el número de puntos contenidos en una recta. Fue precisamente la noción de infinito la que le condujo a la idea de conjunto. Su teoría la denominó “teoría de los agregados”. En esta teoría:
- Se podían definir conjuntos y realizar operaciones con ellos.
- Utilizaba el llamado “principio de comprensión”: para toda propiedad P existe el correspondiente conjunto C(P) de elementos que tienen dicha propiedad.
Anteriormente, George Boole había dado los primeros pasos en sentido operativo en su obra de 1854 “Investigación sobre las leyes del pensamiento”, pues su álgebra de la lógica, basada en los operadores lógicos de “unión” (o disyunción), “intersección” (o conjunción) y el operador “contrario” (o negación) eran aplicables a los conjuntos vacío (simbolizado por 0) y el conjunto universal (simbolizado por 1).
En 1902, Gottlob Frege desarrolló una teoría de conjuntos equivalente a la de Cantor, pero a nivel axiomático. Frege pretendía reducir la matemática a la lógica, y deducir o explicar los números y la aritmética a partir de la teoría de conjuntos. Esta teoría, conocida hoy día como “teoría de conjuntos ingenua”, se basa en solo dos simples principios:
1. El principio de extensión.
  Un conjunto está completamente determinado mediante sus elementos constituyentes. Dos conjuntos con los mismos elementos se consideran iguales.
2. El principio de intensión (o comprensión).
  Un conjunto se puede especificar mediante una propiedad. Los elementos del conjunto son los objetos que poseen dicha propiedad.
En 1903, Bertrand Russell demuestra que el principio de comprensión utilizado por Frege es inconsistente −inconsistente quiere decir que se pueden derivar contradicciones, y de una contradicción se puede derivar cualquier cosa−, de ahí el calificativo de “ingenua” a la teoría, aportando como argumento una paradoja que lleva su nombre (la paradoja de Russell), en la que utiliza un mecanismo auto-referenciador: “El conjunto R cuyos elementos e son todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, ¿es o no un elemento de sí mismo?”. La paradoja se expresa formalmente así:
Con la paradoja de Russell se derrumbó el propósito de Frege de fundamentar la aritmética con la teoría de conjuntos.

Para eliminar esta paradoja se propusieron varias soluciones:
1. La llamada “teoría de tipos”, del propio Russell (1908).
  Russell aplicó esta teoría en la obra Principia Mathematica, que elaboró junto con Alfred North Whitehead. En ella se distinguen niveles o tipos de conjuntos. Un conjunto de un tipo solo puede contener conjuntos de un tipo inferior. Por lo tanto, un conjunto no puede ser miembro de sí mismo.
2. Distinguir entre conjuntos y clases (Von Neumann):
  1. Un conjunto es una clase que no es un elemento de otra clase.
  2. Una clase no puede estar contenida en un conjunto o en otra clase.
  3. Los conjuntos son clases particulares que pueden ser miembros de una clase.
  4. Todos los conjuntos son clases, pero no todas las clases son conjuntos.
  5. Las clases que no son conjuntos se llaman clases propias.
  6. La clase de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos es una clase propia.
  De todas formas, no está clara la distinción entre clase y conjunto. Además, a pesar de todas estas precauciones conceptuales, parece que la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas también conduce a contradicción, como en el caso de los conjuntos.
3. La concepción iterativa de conjuntos.
  Según este sistema, un conjunto se obtiene a partir de la aplicación reiterada de ciertos principios de formación (o constructivos), que dan lugar a una jerarquía infinita en la que no existe un nivel último o final. El universo conjuntista es un universo abierto, en el sentido de que no puede completarse nunca, como sucede con los números naturales.
En 1908, Ernst Zermelo presentó la primera lista de axiomas consistentes de la teoría de conjuntos. Los axiomas establecen limitaciones a la hora de definir conjuntos y operar con ellos para que no se produzcan contradicciones. Solo son válidos los conjuntos que satisfacen los axiomas. Para construir conjuntos se requiere ante todo la existencia previa o inicial de al menos un primer conjunto y también una serie de operaciones (unión, producto cartesiano y potencia) que son análogas a las aritméticas (suma, producto y potencia de números). Entre los axiomas de Zermelo están:
- El axioma del infinito. Establece la existencia de conjuntos infinitos (que son necesarios para la reducción del análisis a la aritmética).
- El axioma de elección. Establece que en toda colección de conjuntos disjuntos (sin elementos en común), puede construirse otro conjunto formado por solo un elemento de cada uno de los conjuntos de la colección. Este axioma es evidente para conjuntos finitos, pero que está pensado para conjuntos infinitos.
- El axioma de separación. Es una versión relativizada del principio de comprensión: dada una propiedad P y un conjunto C, existe el subconjunto de elementos de C que tienen la propiedad P. Este subconjunto puede ser el conjunto vacío (simbolizado por {} o ∅).

La lista de axiomas de Zermelo fue actualizada en 1921 por Abraham Fraenkel, añadiéndole el axioma de sustitución (que afirma que los valores de una función definida sobre un conjunto también forma un conjunto). Desde entonces, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos se denomina de Zermelo-Fraenkel (abreviadamente, ZF).

Fraenkel demostró también la independencia del axioma de elección del resto de los axiomas, por lo que desempeña en teoría de conjuntos un papel análogo al quinto postulado de Euclides en geometría (el famoso postulado de las paralelas). La teoría ZF con el axioma de elección se denomina ZFC ('C' de 'Choice').

En 1923, Thoralf Skolem añadió otro axioma: el de fundamentación: un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo.

En los 1960s Alexander Grothendieck añadió otro axioma para garantizar la existencia del conjunto de las potencias sucesivas de un conjunto infinito. Posteriormente se añadieron nuevos axiomas para garantizar conjuntos aún más grandes, conocidos como “grandes cardinales”.

Crítica de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos tuvo un gran impacto y cambió el panorama de las matemáticas. Se considera el concepto matemático más importante, el fundamento de la matemática, pero este concepto adolece de limitaciones:

El concepto de conjunto se definió históricamente sin considerar dos propiedades fundamentales:
1. Los elementos repetidos.
2. El orden de los elementos.
Aunque realmente en la naturaleza no hay dos elementos iguales, así se les considera desde el punto de vista de sus propiedades o atributos. Por ejemplo hablamos de 2 objetos, 3 libros, 4 bolas blancas, etc.

En matemáticas, se llaman:
- Bolsas a los conjuntos con la propiedad 1.
- Secuencias a los conjuntos con las propiedades 1 y 2, es decir, a las bolsas con la propiedad 2 (bolsas ordenadas).
La tabla siguiente ilustra las posibles combinaciones al considerar o no repeticiones y orden:

Repeticiones Orden Nombre
No No Conjunto
No Sí Conjunto ordenado
Sí No Bolsa
Sí Sí Secuencia (Bolsa ordenada)

Cuando no hay elementos repetidos, entonces un conjunto es un caso particular de bolsa, y un conjunto ordenado es un caso particular de secuencia.
Falta de operaciones inversas.
- Para la unión y la intersección de conjuntos.
- Existe la resta de conjuntos A−B, que son los elementos de A que no pertenecen a B, pero no la suma. Se supone que el equivalente a la suma es la unión, pero no es cierto, pues estas dos operaciones son esencialmente distintas (la suma es una operación aritmética y la unión es una operación entre conjuntos).
Falta de operaciones combinatorias.
No existen operaciones de tipo combinatorio para definir, por ejemplo, a partir de conjuntos y secuencias, nuevos conjuntos y secuencias. Solamente parece existir el mecanismo de “producto cartesiano” de varios conjuntos C₁×...×C_n, que es otro conjunto: el de las secuencias formadas por los correspondientes elementos de los conjuntos. Esta pobreza combinatoria se pone de manifiesto en la imposibilidad de expresar variaciones, permutaciones y combinaciones nada más que mediante notaciones nemotécnicas (V_m,n, P_n, C_m,n) y acudiendo al lenguaje natural.
Pérdida del origen.
En las operaciones de unión C₁∪C₂ e intersección C₁∩C₂ de conjuntos, los elementos del conjunto resultante pierden su origen, es decir, el nombre del conjunto del que provienen. Hay, pues, pérdida de información que es una consecuencia de la no existencia de un enlace explícito entre cada elemento y el conjunto al que pertenece.
El conjunto potencia.
Se define en teoría de conjuntos el conjunto potencia de un conjunto C: el conjunto de todos los posibles subconjuntos de C. Y la notación utilizada es C^* (Kleene). A veces también se utiliza la notación 2^C, pues 2ⁿ es el número de elementos del conjunto potencia de un conjunto de n elementos. Ambas notaciones son meramente simbólicas y no especifican ni la forma de obtención de dicho conjunto potencia ni su descripción.

Crítica de la axiomatica Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos

La teoría axiomática de conjuntos se considera la “madre de las matemáticas”, el pilar fundamental de la matemática. La mayoría de los objetos matemáticos (números, relaciones, funciones, etc.) se definen en términos de conjuntos.

La teoría de conjuntos ha sido de gran ayuda en la formalización de muchos dominios de la matemática. También a contribuido a descubrir campos completamente nuevos, como el campo de los números transfinitos.

La teoría de conjuntos de ZF es la más conocida y aceptada actualmente, por lo que se considera la teoría “estándar” de conjuntos. Pero filosóficamente es insatisfactoria, pues no responde a cuestiones fundamentales:

No hay una concepción filosófica subyacente. Está hecha con “parches” (para evitar paradojas, para contemplar conjuntos infinitos, etc.). Los axiomas solo especifican restricciones o condiciones de existencia. No hablan de los grados de libertad. No responde a las cuestiones filosóficas fundamentales, en particular su relación con las categorías filosóficas.
Se supone que los axiomas, que son los fundamentos de una teoría, deben ser evidentes por sí mismos. Pero no es este el caso de la teoría axiomática de conjuntos. Algunos axiomas son polémicos y discutibles. No existen argumentos sólidos a favor de la verdad de los axiomas.
Es una teoría poco intuitiva. Los axiomas son artificiales, poco naturales y arbitrarios. Este último aspecto ya fue señalado en su día por von Neumann.
Es una axiomatización de primer orden de la teoría de conjuntos (utiliza la lógica de primer orden), es decir, solo se consideran los conjuntos, los elementos y los subconjuntos. El lenguaje de la teoría de conjuntos es el de la lógica de predicados de primer orden, que es un lenguaje muy limitado.
Es una teoría excesivamente compleja técnicamente, por lo que es irrelevante en su aplicación práctica. Es una teoría que esta divorciada de la práctica. No indica cómo se construyen los conjuntos. En particular, el axioma de elección es lo menos constructivista que hay.
No permite conjuntos difusos, es decir, no hay matices ni grados de pertenencia de un elemento a un conjunto. Se basa en un concepto restringido: el dualismo verdadero-falso.
Es una teoría que está orientada solo a la demostración de teoremas a partir de los axiomas.
Los conceptos no están explícitos y delimitados. Están difuminados e implícitos entre los axiomas.
Es una teoría que pretende formalizar los conjuntos desde un lenguaje no formalizado como es el lenguaje natural, que es ambiguo y sujeto a muchas interpretaciones. No hay un lenguaje formal completo, Solo se apoya en el lenguaje lógico de primer orden.
No existen elementos “sueltos” (que no pertenecen a ningún conjunto). Todo tiene que ser un conjunto. El constituyente último es el conjunto vacío. Un elemento a debe aparecer como {a}, el conjunto que contiene al elemento a. Esto va en contra del sentido común, pues un conjunto debería ser una agrupación de al menos dos elementos.
El axioma de elección solo debe ser aplicable a conjuntos infinitos cuando se utiliza un mecanismo descriptivo. Pero la teoría no menciona este aspecto.
El axioma de separación impide la existencia del conjunto universal U, el conjunto que incluye todo. En efecto, si existiera, utilizando la propiedad de no pertenecerse a sí mismo, y aplicando el axioma de separación, existiría el conjunto W (el conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos). Como W es contradictorio, U no puede existir.

Esto implica que no existe el conjunto complementario C' de un conjunto C, pues la unión de ambos sería el conjunto universal.
Teoría de conjuntos y lógica de predicados están entremezclados. No hay separación clara de conceptos. No se sabe si la lógica es una rama de la matemática, si la matemática es una ampliación de la lógica o si la lógica fundamenta las matemáticas.
Los números naturales se construyen mediante conjuntos, lo que es contraintuitivo: los números no son conjuntos.

De todas formas, la mayor y rotunda crítica a la teoría axiomática de conjuntos (y a la axiomática en general) fue el teorema de incompletud de Gödel (1931) que demostró que todo sistema axiomático formal consistente que incluya a los números naturales es incompleto, es decir, que hay proposiciones de las que no se puede demostrar si son verdaderas o falsas, pues son inalcanzables a través de los axiomas. También demostró que ningún sistema axiomático formal puede demostrar su propia consistencia.

Las Estructuras Algebraicas
En los años 1930s, un grupo de matemáticos (principalmente franceses), conocidos bajo el nombre colectivo de Nicolas Bourbaki, elabora una teoría estructural de la matemática, que refleja en una serie de libros (10 en total), entre 1935 y 1998, bajo el nombre general de “Elementos de Matemática” (nombre claramente inspirado en Euclides). Un resumen de su filosofía se publicó en 1949 en el artículo “Fundamentos de matemática para el matemático práctico”, en el que sostenía que toda la matemática se podía fundamentar mediante la noción de estructura algebraica.

Una estructura algebraica generaliza la estructura del conjunto de los números reales y las propiedades de las operaciones de suma y producto:

Ambas operaciones son asociativas y conmutativas.
El producto es distributivo respecto a la suma.
Hay dos elementos identidad (0 para la suma, 1 para el producto).
Existe un elemento inverso en las dos operaciones (excepto para el cero en el producto).

La generalización se basa en:

Utilizar conjuntos estructurados, frente a los conjuntos simples, que son planos, sin estructura interna.
La estructura se basa en operaciones internas (entre los elementos del conjunto) que cumplen determinadas propiedades y en relaciones entre los elementos (orden, conectividad, separabilidad, etc.).
Las funciones entre conjuntos estructurados preservan la estructura.

Ejemplos de estructuras algebraicas son: monoides, grupos, anillos y cuerpos. Los números reales son un caso particular de cuerpo.

La teoría estructuralista en matemática inspiró el movimiento del estructuralismo, un movimiento generalista que implicó a diversas disciplinas, como lingüística, psicología y antropología.

Limitaciones de las estructuras algebraicas

Las relaciones entre los elementos del conjunto son estáticas. No pueden modificarse.
Solo hay dos tipos de operaciones internas.
Las operaciones internas son funciones limitadas a dos argumentos (elementos de un conjunto) y que producen un elemento del mismo conjunto.
No se pueden realizar procesos.

Las Categorías
Los conceptos de conjunto y de estructura son demasiado restrictivos. En algunos dominios no podían aplicarse, por lo que era necesario un mayor nivel de abstracción y generalización, lo que condujo a la teoría de categorías.

La teoría de categorías es una teoría matemática que trata de forma abstracta las estructuras matemáticas y sus relaciones, con el objetivo de investigar lo que tienen en común muchos dominios.

Una categoría es un concepto abstracto, como el de conjunto. Pero en un conjunto solo existen relaciones verticales: entre cada elemento y el conjunto al que pertenece. No existen relaciones horizontales, es decir, entre los elementos del conjunto. En una categoría sí existen estas relaciones horizontales (los llamados “morfismos” o “flechas”), por lo que podemos imaginarlo como una especie de conjunto estructurado.

El concepto de categoría

Una categoría consta de dos partes: 1) una clase o colección de objetos, 2) Unas relaciones binarias (llamadas “morfismos” o “flechas”) entre todos los objetos de la clase. Para todo par de objetos (iguales o distintos) de la clase, existe un conjunto (puede ser vacío) de morfismos que transforman un objeto en otro.

La noción de composición de morfismos generaliza conceptos fundamentales de la matemática, como son la suma, el producto y la exponenciación, así como los mecanismos básicos de la lógica.

Una abstracción adicional fue el concepto de funtor (functor). De la misma manera que los conjuntos se pueden relacionar entre sí mediante funciones, es posible también relacionar categorías entre sí mediante funciones que preservan su estructura.

Analogías teoria de conjuntos – teoría de categorías

Se pueden establecer las siguientes analogías entre la teoría de conjuntos y la teoría de categorías:

Característica	Teoría de Conjuntos	Teoría de Categorías
Nombre del grupo	Conjunto	Clase o Colección
Componentes del grupo	Elementos	Objetos
Relación (binaria)	Vertical (pertenencia de un elemento al conjunto)	Horizontal (entre dos objetos de la clase)
Valor de la relación	Valor binario: Verdadero (V) o Falso (F)	Conjunto de morfismos entre dos objetos (puede ser el conjunto vacío)

Origen de la teoría de categorías

El concepto de categoría fue introducido en 1945 por Samuel Eilenberg y Saunders MacLane con la publicación del artículo “Teoría General de Equivalencias Naturales” [Eilenberg & Mac Lane, 1945]. Descubrieron que todas las estructuras compartían una serie de características comunes:

Se refieren a clases de conjuntos.
Hay definidas funciones internas, que relacionan unos elementos con otros.
La funciones se pueden componer de forma asociativa.
Siempre existe al menos una función, que es la función identidad.

De esto dedujeron que no había ninguna necesidad de de mencionar a los conjuntos de forma explícita y que la matemática se podía basar únicamente en el concepto de función y de composición de funciones, en lugar de los conceptos clásicos de conjunto y pertenencia. De esta manera se creaba un marco más genérico en donde conjuntos y estructuras serían casos particulares de categorías.

Alrededor de 1960, Alexander Grothendieck introdujo el concepto de “topos” (una palabra que está en singular, el plural es “toposes” o “topoi”), una generalización del concepto de haz (sheaf) de la geometría algebraica.

En 1996, William Lawvere extrajo la estructura lógica del concepto de topos e introdujo axiomas que condujeron a su noción actual. El propósito de Lawvere era construir una lógica de orden superior en términos de la teoría de categorías, pero el resultado fue un tipo de lógica intuicionista. Según Lawvere, la teoría de categorías, en especial la teoría de toposes, une la matemática analítica y la matemática intuicionista.

La última propuesta de Lawvere es fundamentar la matemática en un concepto reflexivo: la categoría de las categorías, que incluye la propia teoría de categorías, la teoría de conjuntos y la lógica.

Crítica de la teoría de categorías

La teoría de categorías, por su carácter abstracto y genérico, tiene muchas ventajas:

Ha contribuido a relacionar, conectar, organizar, reconceptualizar y unificar muchos dominios de la matemática. El resultado ha sido una cierta disolución de las fronteras entre dichos dominios, y que resultados generales obtenidos en teoría de categorías se trasladan como resultados particulares a esos dominios.
Ofrece economía de pensamiento y de expresión, prescindiendo de detalles.
Ha obligado a cuestionarse la propia distinción entre matemática y metamatemática (realmente unifica ambos aspectos), al incidir en la propia fundamentación de la matemática.
Ha contribuido a acercar matemática y filosofía, al plantearse muchos temas de tipo epistemológico y ontológico, así como la teoría de universales.
La teoría de categorías aclara por qué la teoría de conjuntos no sirve como fundamentación de la matemática: porque la lógica de predicados de primer orden es demasiado simple y no puede aplicarse a dominios complejos como topología, geometría algebraica, etc. La lógica intuicionista es la adecuada para estos dominios.

La teoría de categorías está desempeñando actualmente un papel análogo al que desempeñó en su día la teoría de conjuntos, proporcionando una nueva visión y nueva fundamentación de la matemática, y contribuyendo a su evolución en el camino de una creciente abstracción, generalización y unificación. Con las categorías se pretende trascender, conectar, unificar y sistematizar los diferentes dominios de la matemática aplicando conceptos abstractos y genéricos, y revelar así sus estructuras profundas comunes.

Sin embargo, a la teoría de categorías se le pueden hacer numerosas objeciones:

A pesar de los indudables logros conseguidos por la teoría de categorías, ésta no deja de ser una teoría un tanto artificial, por lo que es dudoso que llegue a convertirse verdaderamente en el fundamento de la matemática. Aunque la teoría de categorías pretende ser el fundamento de la matemática, todavía no se ha presentado ningún conjunto completo de axiomas a este respecto.
La teoría de categorías representa la culminación de la búsqueda de los ingredientes más generales y abstractos de la matemática, pero se ha alejado de la simplicidad conceptual. La teoría de categorías es un claro ejemplo de la violación del principio de la navaja de Einstein. [ver Fundamentos – Principio de Simplicidad.]
El concepto de categoría no es un concepto “puro”, sino un concepto compuesto (o dependiente) de otros dos: el concepto de conjunto (o colección de objetos) y el concepto de morfismo (o flecha) y además utilizados de forma restringida:
- El conjunto aparece en la clase (o colección) de objetos. Además existen múltiples concepciones de “conjunto”, dependiendo de la axiomática que se considere (con/sin el axioma de elección, etc.).
- El morfismo es un caso particular y simple de función. Es un concepto restringido, no suficientemente genérico. Le falta el componente de proceso, pues el morfismo solo establece una correspondencia directa entre dos objetos.
- Cuando se necesitan diferentes tipos de objetos (p.e., secuencias) o diferentes tipos de flechas (p.e. flechas de flechas), hay que acudir a las categorías de dimensiones superiores. Pero las categorías no suministran toda la combinatoria posible. Por ejemplo, no se contemplan conjuntos o secuencias de flechas, conjuntos o secuencias mixtas de objetos y flechas, etc.
No se pueden asignar atributos a las categorías, a los objetos, a las flechas y a los funtores.
El concepto de flecha o morfismo es ambiguo. También se dice que es “multifacetado”. Solo afirma que a un objeto A se le hace corresponder un objeto B, pero no especifica su significado. De hecho pueden existir diferentes interpretaciones del concepto de flecha [ver Comparaciones – MENTAL vs. Teoría de Categorías.]
Los fundamentos de la teoría de categorías no están todavía claros. La teoría no está consolidada conceptualmente y sigue actualmente en proceso de evolución. Incluso la propia definición de categoría ha ido cambiando con el tiempo, según los objetivos o necesidades.
No existe una categoría absoluta o universal.
La teoría de categorías es heredera de la tradición axiomática. Tiene una orientación Hilbertiana (puramente formal) y no Fregeana (conceptual), y la matemática necesita de ambas visiones.
No existen procedimientos constructivos. Solo hay definiciones y no hay lenguaje formal. El énfasis se pone en el “qué” (lo descriptivo) y no en el “cómo” (lo constructivo). Por ejemplo, no existen mecanismos explícitos para construir estructuras de objetos como secuencias, árboles, matrices, etc.
Respecto a la teoría de toposes, hay que decir que es demasiado compleja y abstrusa. E impone un modelo aún más restringido, pues relaciona de manera específica muchos conceptos.
Existen numerosas formas de pensar las categorías de orden superior. También habría que considerar a las propias categorías como casos particulares de una categoría superior. En este caso, ¿qué tipo de categoría es esta? Al ser la categoría de las categorías también una categoría, se tendría que incluir a sí misma, por lo que desembocamos en una paradoja tipo Russell, es decir, autorreferente.

Para resolver el problema de las categorías de las categorías se han propuesto tres soluciones:

Considerar solo las categorías “pequeñas”, es decir, las categorías que son conjuntos. La categoría de las categorías pequeñas generaliza la noción de clase de todos los conjuntos, pero no incluye la categoría de conjuntos ni la categoría de estructuras.
Añadir un nuevo axioma a la teoría de conjuntos para que se puedan considerar jerarquías de clases (clases de clases, etc.). De esta forma es posible obtener categorías cuyos componentes sean clases y jerarquías de clases, pero sin llegar a la categoría de todas las categorías. Esta solución fue propuesta por Grothendieck.
Axiomatizar la propia teoría de categorías, como se hizo con la teoría de conjuntos. El sistema axiomático de la teoría de conjuntos sería un caso particular del sistema axiomático de la teoría de categorías cuando se consideran categorías discretas (categorías cuyas funciones son solo funciones identidad). Esta fue la solución propuesta por Lawvere en 1996.

Las Funciones
Ninguno de los tres enfoques anteriores (conjuntos, estructuras y categorías) era satisfactorio a nivel práctico, especialmente para los informáticos, que necesitaban trabajar con funciones (definirlas como procesos con parámetros). La teoría de categorías utiliza funciones que son relaciones simples entre objetos, funciones que se pueden combinar y que no admiten parámetros. Era necesaria una teoría general de funciones que posibilitara su aplicación práctica.

Los informáticos acudieron a una teoría desarrollada en 1933 por Alonzo Church, el cálculo lambda, un modelo teórico formal para las expresiones funcionales, es decir, funciones definidas a partir de otras funciones. El concepto de función tiene mecanismos que guardan una cierta analogía con la teoría de conjuntos:

Una función es una entidad matemática que se corresponde con la de conjunto.
Un argumento de una función se corresponde con un elemento de un conjunto.
La aplicación de una función con un argumento se corresponde con la pertenencia de un elemento a un conjunto.
La definición de una función se corresponde con la definición de un conjunto, aplicándose también los principios de:
- Extensión. Una función está completamente determinada mediante la especificación de todos sus valores (argumentos y resultados). Y dos funciones con los mismos valores son iguales.
- Intensión. Una función se puede definir mediante la descripción de sus valores de entrada y salida (argumentos y resultados).

Las funciones del cálculo lambda son objetos matemáticos con las siguientes características:

Las funciones no tienen nombre (son anónimas).
Las funciones pueden ser argumentos de otras funciones.
El resultado de una función es otra función.
Hay transparencia referencial: el significado de una expresión funcional depende únicamente del significado de las subexpresiones.
Se diferencia claramente entre la definición de una función y su aplicación.
Las variables (o parámetros) también se consideran funciones o autofunciones, es decir, que se aplican a sí mismas y se devuelven a sí mismas.
Se pueden realizar evaluaciones parciales (especificando valores a no todos los parámetros).
Los números son funciones (los numerales de Church), funciones que emulan las operaciones aritméticas.
Los valores de verdad (V y F) son funciones y permiten implementar la condición lógica (If-Then-Else).
Se pueden definir funciones que realizan operaciones lógicas, funciones predicativas (que devuelven un valor de verdad) y funciones recursivas.
Pueden definirse funciones de orden superior.

Kleene y Rosser (1936) demostraron que el cálculo lambda era inconsistente. Entonces, Church desarrolló (1940) una teoría funcional de tipos, una teoría más simple y más general que la que la que apareció en Principia Mathematica de Russell y Whitehead. El cálculo lambda original de Church no tenía tipos, por lo que las funciones podían aplicarse sin restricciones.

En la teoría de tipos de Church, las expresiones funcionales se clasifican en tipos, que son categorías de funciones y que juegan un papel análogo al de los tipos de conjuntos en teoría de conjuntos. Los tipos restringen las posibles formas combinatorias de dichas expresiones, como en la teoría de conjuntos.

Church tenía al principio un objetivo mucho mas ambicioso: construir un sistema formal completo y un lenguaje universal para modelizar toda la matemática. Pero cuando vio que la paradoja de Russell le afectaba, rebajó su objetivo inicial para centrarse exclusivamente en modelar la computabilidad mediante expresiones funcionales.

Cuando Church inventó el cálculo lambda, los ordenadores todavía no existían. Sin embargo, se puede considerar el primer lenguaje funcional de la historia. Ha sido el modelo teórico formal de muchos lenguajes funcionales, habiendo tenido gran influencia en el diseño de los lenguajes de programación en general. Lisp fue el primer lenguaje en aplicar el cálculo lambda, por lo que es el lenguaje funcional más antiguo y popular. Está orientado al cálculo simbólico y se aplica principalmente a temas de inteligencia artificial.

En 1969, Dana Scott presentó la “semántica denotacional para el cálculo lambda”, que interpretaba los programas de ordenador (construidos con funciones) como verdaderos objetos matemáticos y mostrando, por tanto, que la informática podía considerarse una rama de la matemática. Dana Scott fue el primero en definir la semántica de los lenguajes de programación.

Limitaciones de las funciones

La mayoría de los autores coinciden en atribuir a Descartes la paternidad del concepto abstracto de función, aunque posteriormente fue Leibniz el introductor del término “función” (o su equivalente en latín), en 1964. El salto creativo dado por Descartes fue concebir la función como una relación algebraica. Esta introducción del lenguaje algebraico como lenguaje en el que expresar relaciones de una manera compacta constituyó una gran revolución en matemáticas y un concepto clave en el desarrollo de la ciencia.

Una función f, tal y como se define en matemáticas, es una correspondencia (o aplicación) entre cada elemento de un conjunto fuente A (o dominio) y un elemento de un conjunto destino B (codominio o rango). Cuando el conjunto fuente es el producto cartesiano de n conjuntos A = A₁×A₂×...×A_n, tenemos una función n-ádica, siendo n el número de argumentos de la función.

Esta definición de función presenta ciertas limitaciones:

No hay proceso, computación o algorimo asociado para la obtención del resultado a partir de los argumentos.
El número de argumentos es fijo. No existe la posibilidad de que uno o varios argumentos no existan (es decir, no hay argumentos opcionales) ni que el número de parámetros sea variable.
Los argumentos y el resultado de la función son siempre elementos de conjuntos.
Los argumentos son posicionales y no aparecen los nombres de los argumentos.
Una función no puede devolver como resultado otra función.

Limitaciones del cálculo lambda

El cálculo lambda supera estas limitaciones de las funciones matemáticas, pero tiene también limitaciones:

Es un modelo teórico monoparadigma: “todo” es una función. Por lo tanto, toda estructura de información hay que crearla cada vez que se necesita. La única estructura de información que contempla es la secuencia dentro de una expresión funcional.
Considerar los números y los valores lógicos como funciones es un mero ejercicio teórico. Conceptualmente, los números y los valores lógicos no son funciones.
Análogamente, la condición lógica (para implementar la lógica de la decisión) es algo totalmente distinto de una función.

Conclusiones
El cuento de los ciegos y el elefante

La historia de la fundamentación de la matemática a través de sus conceptos fundamentales recuerda la historia de los ciegos y el elefante, al famoso cuento popular de la India, atribuido a Rumi, sufí persa del siglo XIII.

En un pueblo, había un grupo de hombres ciegos que eran amigos, y que ocupaban su tiempo en discutir sobre cosas que pasaban en el mundo. Un día, surgió el tema del “elefante”. Ninguno había visto nunca un elefante, así que pidieron que les llevaran un elefante para averiguar cómo era. Uno tocó su costado, otro la cola, otro la pata, otro la trompa, otro la oreja, etc. Después se reunieron para discutir lo que habían “visto”. Uno dijo: “un elefante es como una pared” (pues había tocado su costado). “No, es como una cuerda” (había tocado su cola), dijo otro. “Estáis los dos equivocados” dijo un tercero, “es como una columna que sostiene un techo” (había tocado una pata). “Es como una serpiente pitón”, dijo el cuarto (había tocado la trompa). “Es como una manta”, dijo el que había tocado la oreja. Y así siguieron y siguieron discutiendo. La conclusión o moraleja de este cuento es que no podemos comprender las cosas basándonos sólo en aspectos parciales. Que la verdadera naturaleza se revela cuando se contempla la totalidad, cuando se tiene una visión global.

Cuando Pitágoras afirmaba que la esencia de la realidad son los números, realmente lo que hizo fue descubrir un aspecto del “elefante matemático”, una dimensión de la realidad interior y exterior, es decir, un arquetipo de la conciencia. Pero la realidad consta de más dimensiones. La matemática es multidimensional.

Otra dimensión es la de conjunto, la dimensión que descubrió Cantor. Esta dimensión es esencialmente diferente a la de los números, pese a los muchos intentos que ha habido de unificarlos o de considerar los números un concepto derivado de los conjuntos. Y pretender fundamentar la matemática en el concepto de conjunto es como sentarse en una silla de una sola pata, o como edificar una casa solo con arena.

Las estructuras algebraicas, las categorías y las funciones son conceptos muy importantes de la matemática, pero es imposible fundamentar sobre ninguna de ellas la matemática porque no son conceptos primitivos, son conceptos derivados.

El intento de fundamentar la matemática sobre la teoría de categorías debemos considerarlo fallido por su complejidad. Además la definición de categoría es demasiado restrictiva, pues impone límites a la libertad de expresión matemática. Y también el concepto de topos es demasiado complejo y restrictivo. La matemática no puede basarse en algo complejo y restrictivo, sino en la simplicidad y la libertad. Si algo es complejo de base es que está mal concebido.

En definitiva, la fundamentación de la matemática debe basarse en conceptos simples, profundos y universales, no en conceptos superficiales o parciales (como en el cuento del elefante), en arquetipos que faciliten el máximo grado de libertad y creatividad. Y con los que sea posible construir y describir todo tipo de expresiones matemáticas concretas (números, conjuntos, funciones, estructuras, etc.), así como categorías de expresiones matemáticas.

MENTAL, la fundamentación teórico-práctica de la matemática

Con MENTAL, el problema de la fundamentación de la matemática se resuelve de manera simple:

En lugar de axiomas formales, se utilizan 12 axiomas semánticos, que son primitivas semánticas universales, arquetipos primarios, categorías filosóficas, grados de libertad y dimensiones semánticas. Estos axiomas corresponden con conceptos genéricos y definen los límites de lo expresable.

Estos axiomas son como las instrucciones básicas de un ordenador, de un ordenador “mental”, filosófico y universal. La metáfora del ordenador con instrucciones generales aclara el fundamento de la matemática. “El ordenador fue inventado para ayudar a clarificar la cuestión filosófica de los fundamentos de la matemática” (Gregory Chaitin).
La fundamentación es a la vez teórica y práctica. Toda expresión utiliza las primitivas, conectando así lo interno y lo externo.
Se resuelven las paradojas matemáticas, incluyendo la paradoja de Russell. O, mejor dicho, las paradojas matemáticas desaparecen porque simplemente son expresables como expresiones fractales.
Se contemplan los 4 conceptos con los que se ha pretendido fundamentar la matemática:
1. Los números están implícitos en la operación de sumar y su dual (restar). El concepto de número es indefinible. Solo tenemos la aritmética. “La aritmética no habla acerca de números, sino que trabaja con números. La aritmética es la gramática de los números” (Wittgenstein. Investigaciones Filosóficas).
2. El conjunto se contempla directamente, y también su dual (la secuencia).
3. Las categorías van asociadas a la generalización de todo tipo de expresiones matemáticas y no solo de clases (o conjuntos) de objetos y a las relaciones entre dichos objetos. Se pueden definir categorías de funciones, de conjuntos, de secuencias, de vectores, de tensores, de matrices, etc. y, evidentemente, categorías de orden superior.
4. Las funciones son expresiones derivadas. Pueden definirse de muchas maneras mediante las primitivas.

MENTAL es un lenguaje formal universal que fundamenta la matemática. Es la realización del viejo sueño de Church de crear un lenguaje formal universal para modelizar toda la matemática. Es un paradigma universal, capaz de expresar todo tipo de paradigmas, incluyendo el funcional.

Decía John Wheeler que “Ninguna teoría física que se ocupe solo de física explicará nunca la física”. Esta afirmación se puede generalizar: “Ninguna teoría que se ocupe solo de matemática no podrá nunca explicar la matemática”. En este sentido, MENTAL está en un nivel superior a la matemática, por lo que fundamenta a todas las ciencias formales (informática, cibernética, inteligencia artificial, sistémica, etc.).

Bibliografía

Aczel, Amir D. El Artista y el Matemático. La historia de Nicolas Bourbaki, el genio matemático que nunca existió. Gedisa, 2009.
Alexandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent´ev, M.A. Mathematics. Its Content, Methods and Meaning. Dover, 1999.
Benacerraf, Paul & Putnam, Hilary (eds.). Philosophy of Mathematics. Selected Readings. Cambridge University Press, 1984.
Cantor, Georg. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta. Crítica, 2005.
Corfield, David. Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press, 2003.
Courant, Richard; Robbins, Herbert. ¿Qué son las matemáticas?. Conceptos y métodos fundamentales. Fondo de Cultura Económica, 2002.
De Lorenzo, Javier. La matemática: de sus fundamentos y crisis. Tecnos, 1998.
Dou, Alberto. Fundamentos de la matemática. Editorial Labor, 1970.
Eves, Howard. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1997.
Ferreirós, José. El nacimiento de la teoría de conjuntos. Universidad Autónoma de Madrid, 1993.
Garcíadiego Dantan, Alejandro R. Bertrand Russell y los orígenes de paradojas de teoría de conjuntos. Alianza, 1992.
George, Alexander; Valleman, Daniel J. Philosophies of Mathematics. Blackwell, 2005.
Guiness, I. Grattan. The Search for Mathematical Roots, 1870-1940. Princeton University Press, 2001.
Halmos, Paul R. Naive Set Theory. Martino Fine Books, 2011.
Hersh, Reuben. What is Mathematics, Really?. Oxford University Press, 1999.
Hintikka, Jaakko. The Principles of Mathematics Revisited. Cambridge University Press, 1996.
Russell, Bertrand. Los principios de la matemática. Espasa Calpe, 1967.
Tymoczko, Thomas. New Directions in the Philosophy of Mathematics. Princeton University Press, 1998.

Repeticiones	Orden	Nombre
No	No	Conjunto
No	Sí	Conjunto ordenado
Sí	No	Bolsa
Sí	Sí	Secuencia (Bolsa ordenada)